- Derivada:
En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.
- Reglas derivación de
las funciones algebraicas
Derivada de
una constante es cero
d (c) = 0
dx
Derivada de
una variable con respecto a si misma es la unidad
d (x) = 1
dx
La derivada
de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a
la suma algebraica de las derivadas de las funciones
d (u+v-w) = dw + dv - dw
dx
dx dx dx
La derivarda
del producto de una constante por una función es igual al producto de la
constante
d (cv) = c dv
dx dx
La derivada
de un producto de las funciónes es igual al producto de la primera función por
la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la
primera
d (uv) = udv + udw
dx dx
dx
La derivada
de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del
exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por
la derivada de la función
d (vn) = nv n-1 dv
dx
dx
Cuando y =
x; se convierte en:
d (xn) = nx n-1
dx
La derivada
del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada
de la función dividida por la constante
d (u) = 1 dw
dx c c dx
- REGLAS DE DERIVADAS TRANSCENDENTALES
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
· La derivación de las funciones
-trigonométricas
es el
proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable
independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales
son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x).
Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando
la función f'(x)tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en
cada punto x.
-
Derivada de la función seno
Dada la función f(x) = sen (x) su
derivada puede ser tanto hipotetizada o inducida por condiciones iniciales.
∞
(- 1)n
sen x
= ∑ ______ x2n+1
(2n + 1
)
n=0
Por tanto
resulta:
f '(x)=
-Cos(x)
- Derivada de la función coseno
π
f(x) = Cos(x)= Sen (x + 2)
Dada la función
es inmediato que:
f '(x) = - Sen(x)
- Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente segun la cual si la
funcion se quiere derivar f(x), se puede escribir como:
g(x)
f '(x)=_____
h(x)
xh(x)≠0, entonces la regla dice la derivada de g(x)/ h(x)
es igual a:
d
g'(x) h(x) - g(x) h'(x)
___ f(x) =
f'(x)= _______________
dx
[h(x)]2
A partir de la identidad trigonometrica
sen(x)
tan(x) =______
Cos (x)
haciendo:
g(x) =Sen(x)
g'(x)=Cos(x)
h(x)=Cos(x)
h'(x)=Sen(x)
h'(x)=Sen(x)
sustituyendo resulta:
Cos(x) Cos(x)-
Sen(x) [-Sen(x)]
f '(x)=
__________________________
Cos2(x)
Operando:
Cos2(x) + Sen2(x)
f '(x)=_____________________
Cos2(x)
y aplicando las identidades trigonometricas:
Cos2(x) + Sen2(x)= 1
Sec2(x) =___1____
Cos2(x)
Resulta:
f '(x)=
Sec2(x)
·
Derivada de la función arco
seno
Tenemos una
función y = arcsen x, que también se puede expresar como Seny = x.
Derivando
implícitamente la segunda expresión:
dy
Cosy. ____ =
1
dx
dx
dy 1
______ =
______
dx Cosy
_______
tenemos ademas que Cos y =√1- Sen2 y,
y que x = Sen y. Sustituyendo, tenemos la formula final:
d
1
______
arsenx = __________
dx
√ 1-x2
Ejemplo #1
y= Csc(x)
Cot(x)
y'=(-Csc(x)
Csc2(x)) - Cot2(x) Csc(x) Cot(x)
y'= - Csc(x)
Csc2(x) - Cot2 (x) Csc (x)
y'= -
Csc3(x) - Cot2(x) Csc(x)
Ejemplo #2
y= 3Sen(x)
-2Cos(x)
dSenx
dCosx
y'= 3_______
- 2___________
dx
dx
y'=
3Cos(x) + 2Sen(x)
· Exponenciales
Derivada de bx y ex
d
____
dx bx = bx ln b
dx bx = bx ln b
Un caso
especial e importante
d
______
dx
ex = ex
ex = ex
Ejemplos
d
________
dx [3x] = 3x ln 3
d
d
_________
________
dx [2ex] = 2
dx [ex] = 2ex
d
_______
dx [x2ex] = 2xex + x2ex = ex(2x + x2) Por la regla del producto.
dx [x2ex] = 2xex + x2ex = ex(2x + x2) Por la regla del producto.
