· Criterio de la Segunda Derivada
Derivada segunda:
Se
llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de
dicha función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
-Criterio de la segunda derivada:
El Criterio o prueba de la segunda
derivada es un teorema o método del
Calculo Matemático en elque se utiliza la segunda derivada para efectuar
una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho
de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que
contiene a C, y f '(c) = 0,
f(c) ,
y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la
gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que
contiene a C,
y f '(c) = 0, f(c) y debe
ser un máximo relativo de f .
(Además de proporcionar información sobre la
concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer
si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo)
Sea f una función tal
que f '(x)=0 y la segunda derivada de f existe en un
intervalo abierto que contiene a x
1. Si f ''(x) <
0, entonces tiene
un máximo relativo en (x,f(x)).
2. Si f ''(x) >
0 , entonces tiene
un mínimo relativo en .
Si f ''(x) = 0,
entonces el criterio falla. Esto es, f quizás
tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo (x,f(x)) en o ninguno de los dos.
Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el
criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
Paso de resolución Pasos y aplicasiones:
Sea f una funcion con dominio D.
f '' (xo)< 0
Si
f '(x) esta definida para xe]a,b[ donde ]a,b[CD y si f '(xo)=0 con xoe ]a,b[
entonces:
EJemplo:
Utilizando
el teorema se determinaran los valores maximos y minimos de la funciones cuyas
ecuaciones son:
x2
f(x)=
_______
x + 1
xe] -4,2[
Note
que la funcion f no esta definida en x= - 1
x(x + 2)
f '(x)= _______
(x + 1)2 x= -1
La
derivada de f esta dada por:
Los
valores criticos de f se obtienen cuando f (f ' (x) = 0. En este caso, f '(x)
si ahora, la segunda derivada de f es:
2
f ''(x)= _________
(x + 1)
Vamos
a evaluar f ''(x) en x = 0 y en x= -2
a)
f '' (0)= 2 como 2 > 0
entonces f( -2) es un valor mínimo relativo de f.
b) f '' (-2)=-2; como -2 < o
entonces f(-2) es un valor máximo relativo de f.
Gráficamente se tiene en el
intervalo ] -4,2[
utilizando el teorema se determinaran los valores máximos y mínimos de la funciones cuyas ecuaciones son:
x2
f(x)= _______
x + 1 xe] -4,2[
Note que la funcion f no esta definida en x= - 1
x(x + 2)
f '(x)= _______
(x + 1)2 x= -1
La derivada de f esta dada por:
Los valores criticos de f se obtienen cuando f (f ' (x) = 0. En este caso, f '(x) si ahora, la segunda derivada de f es:
2
f ''(x)= _________
(x + 1)
Vamos a evaluar f ''(x) en x = 0 y en x= -2
a) f '' (0)= 2 como 2 > 0 entonces f( -2) es un valor minimo relativo de f.
b) f '' (-2)=-2; como -2 < o entonces f(-2) es un valor
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