En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Si f y f ' son derivables '' a ''
''a'' es un punto fe inflexión ---> f'' (a)= 0
f ''' (a)≠ 0 ≠
Calculo de los puntos de inflexión
f(x)= x3- 3x + 2
1. hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. + 2
f '' (x)= 6x 6x = 0x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:
f ''' (x)≠ 0 tenemos un punto de inflexión.
f ''' (x) = 6 será un poco de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) de l punto de inflexión.
f(0)= (0)3 - 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexion: (0,2)
Calculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad.
domingo, 30 de noviembre de 2014
Valores Criticos
- Valores Críticos
El valor critico se designa mediante z a/2.P(z > za/2) = a/2P[-z a/2 <z <z a/2]= 1-a
''a'' es el nivel de significacion.
1- a es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.
Los niveles de confianza más usuales son 90%; 95% y 99%
Sentido de Concavidad
- Sentido de Concavidad
se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, (A C Df), si f '(x) es creciente sobre A. si f '(x) es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Es la función derivada f ' la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f en cóncava hacia arriba en el intervalo ]a,b[ y concava hacia abajo en el intervalo ]b,c[
f presenta concavidad positiva en x = a si esxiste un E* a/ para todo x perteneciente
· Criterio de la Segunda Derivada
Derivada segunda:
Se
llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de
dicha función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
-Criterio de la segunda derivada:
El Criterio o prueba de la segunda
derivada es un teorema o método del
Calculo Matemático en elque se utiliza la segunda derivada para efectuar
una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho
de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que
contiene a C, y f '(c) = 0,
f(c) ,
y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la
gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que
contiene a C,
y f '(c) = 0, f(c) y debe
ser un máximo relativo de f .
(Además de proporcionar información sobre la
concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer
si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo)
Sea f una función tal
que f '(x)=0 y la segunda derivada de f existe en un
intervalo abierto que contiene a x
1. Si f ''(x) <
0, entonces tiene
un máximo relativo en (x,f(x)).
2. Si f ''(x) >
0 , entonces tiene
un mínimo relativo en .
Si f ''(x) = 0,
entonces el criterio falla. Esto es, f quizás
tenga un máximo relativo en , un mínimo relativo (x,f(x)) en o ninguno de los dos.
Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el
criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
Paso de resolución Pasos y aplicasiones:
Sea f una funcion con dominio D.
f '' (xo)< 0
Si
f '(x) esta definida para xe]a,b[ donde ]a,b[CD y si f '(xo)=0 con xoe ]a,b[
entonces:
EJemplo:
Utilizando
el teorema se determinaran los valores maximos y minimos de la funciones cuyas
ecuaciones son:
x2
f(x)=
_______
x + 1
xe] -4,2[
Note
que la funcion f no esta definida en x= - 1
x(x + 2)
f '(x)= _______
(x + 1)2 x= -1
La
derivada de f esta dada por:
Los
valores criticos de f se obtienen cuando f (f ' (x) = 0. En este caso, f '(x)
si ahora, la segunda derivada de f es:
2
f ''(x)= _________
(x + 1)
Vamos
a evaluar f ''(x) en x = 0 y en x= -2
a)
f '' (0)= 2 como 2 > 0
entonces f( -2) es un valor mínimo relativo de f.
b) f '' (-2)=-2; como -2 < o
entonces f(-2) es un valor máximo relativo de f.
Gráficamente se tiene en el
intervalo ] -4,2[
utilizando el teorema se determinaran los valores máximos y mínimos de la funciones cuyas ecuaciones son:
x2
f(x)= _______
x + 1 xe] -4,2[
Note que la funcion f no esta definida en x= - 1
x(x + 2)
f '(x)= _______
(x + 1)2 x= -1
La derivada de f esta dada por:
Los valores criticos de f se obtienen cuando f (f ' (x) = 0. En este caso, f '(x) si ahora, la segunda derivada de f es:
2
f ''(x)= _________
(x + 1)
Vamos a evaluar f ''(x) en x = 0 y en x= -2
a) f '' (0)= 2 como 2 > 0 entonces f( -2) es un valor minimo relativo de f.
b) f '' (-2)=-2; como -2 < o entonces f(-2) es un valor
domingo, 24 de agosto de 2014
Antecedentes del calculo
- Antecedentes del calculo
El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial e integral. El calculo es la matemática del cambio, velocidades y aceleraciones, también es la matemática de rectas, tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes, de arco, centroides, curvaturas que puedan modelar situaciones de la vida real. El calculo en si es diferente a las matemáticas, aunque las matemáticas previas al cálculo son mas
estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en
el cambio y en el movimiento, trata de cantidades que se aproxima a otras
cantidades. De hecho, podríamos definir al cálculo como la parte de las
matemáticas que trata con límites. Los orígenes del cálculo se remontan unos
2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas
aplicando el método de agotamiento. El método griego de agotamiento consistía
en inscribir polígonos en figura y circunscribir otros polígonos en torno a la
misma figura. Fue Arquímedes (287-212 a. n. e.) quien dio la descripción más
clara de este método. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites, sin
embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizo el
agotamiento para probar la conocida formula del área de un circulo 2ra. El cálculo
diferencial se origina en el siglo xvll al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la
velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro,
la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia
que recorre en un tiempo infinitesimal pequeño.
En 1666 Isaac Newton (1642-1727) fue el primero en desarrollar el método para resolver problemas de esta índole. invento su propia versión del calculo para aplicar el movimiento de los planetas alrededor del sol. Newton creo el método de las fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye, este establece que el movimiento de las funciones son entre si como sus derivadas. Casi al mismo tiempo, el filosofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) realizo investigaciones similares ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. El descubrimiento de Leibniz se logra al estudiar el problema de los tangentes y sus inversos, basándose en el triangulo característico de Barrow. (los símbolos, ecuaciones y derivadas se deben a Leibniz).
Pierre Fermat (1601-1665) matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose al descubrimiento del calculo diferencial. Nicolás Oresme (de Liseiux, Francia) estableció: en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima esta ordenada variaba mas pausadamente.
Johannes Kepler, coincidió con lo establecido por Oresme. Isaac Barrow maestro de Newton, construyo el triangulo característico, Joseph- Lowis Logranche (1766- 1813) quien demostro por primera vez el teorema del valor medio, (''Lograge'') es la altiva pirámide de las ciencias matemáticas. Aguustin- Lus Cauchy (parís 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés impulso del calculo diferencial e integral autor de las teorías de las parábolas y de la hipérbola.
El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial e integral. El calculo es la matemática del cambio, velocidades y aceleraciones, también es la matemática de rectas, tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes, de arco, centroides, curvaturas que puedan modelar situaciones de la vida real. El calculo en si es diferente a las matemáticas, aunque las matemáticas previas al cálculo son mas estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento, trata de cantidades que se aproxima a otras cantidades. De hecho, podríamos definir al cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites. Los orígenes del cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el método de agotamiento. El método griego de agotamiento consistía en inscribir polígonos en figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura. Fue Arquímedes (287-212 a. n. e.) quien dio la descripción más clara de este método. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites, sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utilizo el agotamiento para probar la conocida formula del área de un circulo 2ra. El cálculo diferencial se origina en el siglo xvll al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimal pequeño.
En 1666 Isaac Newton (1642-1727) fue el primero en desarrollar el método para resolver problemas de esta índole. invento su propia versión del calculo para aplicar el movimiento de los planetas alrededor del sol. Newton creo el método de las fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye, este establece que el movimiento de las funciones son entre si como sus derivadas. Casi al mismo tiempo, el filosofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) realizo investigaciones similares ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. El descubrimiento de Leibniz se logra al estudiar el problema de los tangentes y sus inversos, basándose en el triangulo característico de Barrow. (los símbolos, ecuaciones y derivadas se deben a Leibniz).
Pierre Fermat (1601-1665) matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose al descubrimiento del calculo diferencial. Nicolás Oresme (de Liseiux, Francia) estableció: en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima esta ordenada variaba mas pausadamente.
Johannes Kepler, coincidió con lo establecido por Oresme. Isaac Barrow maestro de Newton, construyo el triangulo característico, Joseph- Lowis Logranche (1766- 1813) quien demostro por primera vez el teorema del valor medio, (''Lograge'') es la altiva pirámide de las ciencias matemáticas. Aguustin- Lus Cauchy (parís 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés impulso del calculo diferencial e integral autor de las teorías de las parábolas y de la hipérbola.
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